Polynôme trigonométrique

Définition

Définition :
Un polynôme trigonométrique est une expression du type : $$f(\theta)=\sum_{n\in{\Bbb Z}}F_ne^{in\theta}$$ où tous les coefficients $F_n$ sont nuls excepté éventuellement un nombre fini d'entre eux
On note $\mathscr P$ l'ensemble des polynômes trigonométriques

Propriétés

Shift - Translation d'une fonction
Opérateur de symétrie

Propriétés basiques

Propriétés basiques des polynômes trigonométriques :

$f$ est un polynôme trigonométrique

$$\Huge\iff$$

$f:{\Bbb R}\to{\Bbb C}$
$f$ est $2\pi$-périodique
$f$ est de classe $C^\infty$

Barycentre

Lemme du barycentre d'un polynôme régulier :

soit $N$ un entier positif

$$\Huge\implies$$

$$\sum^{N-1}_{k=0}e^{2\pi ik\over N}=\begin{cases}1&\text{si}\quad N=1\\ 0&\text{si}\quad N\gt 1\end{cases}$$

END

Calcul du spectre - Formule d'analyse

Formule d'analyse :

$f\in\mathscr P$ avec spectre $F_n$

$$\Huge\implies$$

$$F_n=\frac1{2\pi}\int_\Bbb Tf(\theta)e^{-in\theta}\,d\theta$$

(Delta de Kronecker, Lemme de l'intégrale oscillante)

Identification d'éléments à valeur réelle

Observation :
Le polynôme trigonométrique est à valeurs réelles si et seulement si $$\forall n,\qquad F_{-n}=\overline{F_n}$$
On dit alors que $n\mapsto F_n$ est hermitienne

Lien avec les polynômes

Astuce :
En faisant $z=e^{i\theta}$, on peut utilsier les propriété de polynômes sur les polynômes trigonométriques

Autre notation

Notation :
Si on écrit $\hat f[n]$ au lieu de $F_n$, on a alors :$$\begin{align}\text{ synthèse : }&{{f(\theta)=\sum\hat f[n]e^{in\theta} }}\\ \text{ analyse : }&\hat f[n]={{\frac1{2\pi}\int f(\theta)e^{-in\theta}\,d\theta}}\end{align}$$

Dérivée

$${{\hat{f^\prime}[n]}}={{in\hat f[n]}}$$

Spectre

$$f\text{ paire }\iff\hat f\text{ paire }$$
$$f\text{ réelle }\iff \hat f\text{ hermitienne }$$
Premier théorème de la convolution : $${{\widehat{fg} }}={{\hat f*\hat g}}$$
Le spectre de $f(\theta-a)$ est $e^{-ina}F_n$
Le spectre de $f(-\theta)$ est $F_{-n}$
Le spectre de $\overline{f(\theta)}$ est $\overline{F_n}$

Autres structures dans l'ensemble des polynômes trigonométriques

Produit hermitien

Exemples

Noyau de Dirichlet
Noyau de Fejér
Noyau de Gibbs

Math'φsics

Formulaire de report